DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA - Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x, maka bentuk persamaannya dapat dituliskan menjadi :
y            = f (x)
y + ∆y    = f (x + ∆x)
∆y          = f (x + ∆x) – y
∆y          = f (x + ∆y) – f(x)

Dimana ∆x adalah tambahan dari x, dan ∆y adalah tambahan dari y berkenaan dengan adanya tambahan x. Jadi ∆y timbul karena ada ∆x. Apabila ruas kiri dan ruas kanan persamaan terakhir diatas dibagi dengan ∆x, maka diperoleh :

    Δy/Δx = (f(x+∆x)- f(x))/∆x

Bentuk dari  Δy/Δx inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan (kuosien) diferensi, mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

Contoh :

Tentukan kuosien diferensi dari y = f(x) = 2x^2 – x

y              = 2x^2 – x
y  +  ∆y    = 2 ( x +∆x )2  - ( x + ∆x )
y  +  ∆y    = 2 {x^2 + 2x ( ∆x ) + ( ∆x)2 } – x - ∆x
y +  ∆y     = 2x^2 + 4x ( ∆x ) + 2 ( ∆x )2 – x - ∆x
∆y            = 2x^2 + 4x (∆x ) + 2 ( ∆x )2 – x - ∆x – y

∆y            = 2x^2 + 4x (∆x ) + 2 ( ∆x )2 – x - ∆x – 2x2 + x
∆y            = 4x ( ∆x ) + 2 ( ∆x )2  - ∆x
Δy/Δx       = (4x ( ∆x ) + 2 ( ∆x )2  - ∆x)/∆y = 4x ( ∆x ) + 2 ( ∆x )2  - 1

Proses penurunan sebuah fungsi (pendiferensian/diferensiasi) pada dasarnya merupakan penentuan limit, suatu koesien diferensi dalam hal pertambahan variabel bebasnya sangat kecil/mendekati nol. Hasil proses diferensiasi yang diperoleh dinamakan turunan/derivatif.

Jika y=f(x)

maka kuosien diferensinya  Δy/Δx        =(f(x+ ∆x)- f(x))/∆x

dan turunan fungsinya      lim┬(∆x→0)⁡〖Δy/Δx〗    =lim┬(∆x→0)   (f(x+ ∆x)- f(x))/∆x


    KAIDAH – KAIDAH DIFERENSIASI

Secara umum, dalam membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara menemukan kuosien diferensinya terlebih dulu, kemudian menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk pertambahan variabel bebas mendekati nol. Langkah – langkahnya :

    Misal fungsi aslinya y = f(x)

    Masukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh

    y + ∆y    = f(x + ∆x)

    Manipulasikan untuk memperoleh ∆y = f(x + ∆x) – f(x)

    Bagi kedua ruas dengan ∆x sehingga diperoleh kuosien diferensinya

    Δy/Δx    =(f(x + ∆x)- f(x) )/∆x


    Tentukan limitnya untuk  Δx → 0, sehingga diperoleh turunan fungsinya

    dy/dx    =lim┬(∆x→0)⁡⁡〖Δy/Δx〗=lim┬(∆x→0)⁡ ⁡(f (x+Δx)- f(x) )/Δx